HOŞ GELDİNİZ - çember ve daire

ÇEMBER VE DAİRE

ÇEMBER VE DAİRE

TEMEL TANIMLAR :

Çember : Düzlemde (R2) sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi (Geometrik yeri)dir.

1. Çember bir noktalar kümesidir.
2. Çemberin iç bölgesi (Dairesel kısım) konvextir.
3. Çember ve çemberin dış bölgeleri konvex değildir.
4. Çember içinde bulunduğu düzlemi iki ayrık bölgeye ayırır.

Düzlemde Bir Nokta ya da Doğrunun Çembere Göre Durumu :

Düzlemde bir doğru ya da doğrunun elemanı olan herhangi bir nokta çembere göre üç temel durumda yer alır.

Çemberin Yardımcı Elemanları :

A) Kesen : Bir çemberi farklı iki noktada kesen AB veya d doğrusuna çemberin keseni denir.

B) Kiriş : Çemberin üzerindeki iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasıdır. ([AB] kirişi vb.)

Kiriş Özellikleri :

1. Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ve yayını ortalar.

2. Merkezden eşit uzaklıkta olan kirişler ve yayları eşittir.

3. Kirişler merkeze yaklaştıkça uzunlukları artar. En uzun kiriş ÇAP'tır.

4. Paralel iki kirişin arasında kalan yaylar eşittir.

5. Çember içindeki bir noktadan geçen en kısa kiriş o noktada çapa dik olandır.

[OP] ^ [AB] ^ [OP] [CD] Û |AB| < |CD|

C) Yay : Çember üzerindeki iki farklı noktanın arasında kalan tüm noktalar kümesidir.

D) Teğet : Bir doğrunun çembere bir noktada değmesi halidir.

Teğet Özellikleri :

1. Yarıçap teğete değme noktasında diktir.

2. Bir çembere dışındaki bir noktadan en çok iki teğet çizilir ve teğet parçalarının uzunlukları eşittir.

Teğetler Dörtgeni :

Karşılıklı kenarlarının uzunlukları toplamı eşittir. (Kare, eşkenar dörtgen ve deltoid teğetler dörtgenidir.)

|AB| + |DC| = |AD| + |BC| = u
Alan (ABCD) = u . r

İki Çemberin Birbirine Göre Durumları :

a) Ayrık :

b) Dıştan Teğet

c) Kesişme Hali

d) İçten Teğet

e) Alt Küme (İç içe) Hali

f) Dik Kesişen Çemberler.

Kesişme noktaları olan K ve K' nden ve merkezlerinden geçen teğetler birbirine dik ise iki çember dik kesişirler.

İki Çemberin Ortak Teğetleri

a) Ortak Dış Teğet Parçasının Uzunluğu (d)

b) Ortak İç Teğet Parçasının Uzunluğu (d)

Üçgenin Çemberleri

1. İç Teğet Çember : (İçaçıortayların kesim noktasıdır.)

İspat :

|AD| = (u-a)
|AF| = |AD| = x
diyelim.
|BD|=|BE|=(c-x)
|CF|=|CE|=(b-x)
|BC|=a=(c-x)+(b-x)
2x=b+c-a (sağ tarafa
a ekleyip a çıkartalım)
2x=a+b+c-2a

x=u-a

|AD| = |AF| = (u-a)
|BD| = |BE| = (u-b)
|CE| = |CF| = (u-c)

İspat : "Açıortay üzerinde alınan bir noktanın (O) açının kollarına olan uzaklıkları eşittir." teoremini kullanarak
|OF| = |OE| = |OD| elde edilir.
Düzlemde bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan (O noktasından r uzaklıkta bulunan D, E, F noktaları) en az üç nokta bir çember belirler özelliği de bize ABC üçgeninin içteğet çemberinin O merkezli r yarıçaplı çember olduğunu ispatlar.

2. Dış Teğet Çember : (İki dış açıortay ve üçüncü açının iç açıortayının kesim noktasıdır.)
Dışteğet çemberlerin yarıçapları ve içteğet çemberin yarıçapı r ise;

bağıntısı vardır.

|AE| = |AF| = u
|AB| = c
|AC| = b
|BC| = a
|BD| = |BE| = (u-c)
|CD| = |CF| = (u-b)

İspat :
|BE| = |BD| = (u-c) = x
|CF| = |CD| = (u - b) = y alalım.
x+y =a dır.
c+x = b+y = |AE| = |AF| dir.
her iki tarafa y ekleyelim.
c + x + y = b + 2y Şc + a - b = 2y
(Sol tarafa "b" ekleyip çıkaralım.)

a + b + c - 2b = 2y

y=(u-b)

3. Çevrel Çember : (Merkezi; üçgenin kenarorta
dikmelerin kesim noktasıdır. Yarıçapı R dir.)
Bu özelliğin ispatını "Merkezden kirişe indirilen
dikme kirişi ve yayını ortalar." teoremiyle yapabilirsiniz.

Kural : BAC açısının açıortayı olan [AD] ile [BC] kenarının kenar orta dikmesi olan [OD], D noktasında kesişir.

İspat : "Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ve yayını ortalar ve Aynı yayı gören çevre açılar

(BAD) ve (CAD) eşittir." kuralını hatırlayınız.

Kural :

İspat :

Çemberde Açılar :

1. Merkez Açı :

Köşesi çemberin merkezinde bulunan açıdır.
Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

2. Çevre Açı :

Köşesi çember üzerinde olan ve kolları çemberi kesen açıdır. Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır. Aynı yayı gören çevre açılar eşittir.

İspat :

[AO ışını ile açısını iki parçaya ayıralım. merkez
açısının gördüğü yayı gören çevre açısı onun yarısı olur.

Kural :

Çapı gören çevre açı
90° dir.

3. Teğet-Kiriş Açı :

Köşesi çember üzerinde olup, bir kolu çemberin o noktadaki teğeti, diğer kolu o noktadan geçen kirişi olan açıdır. Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.

İspat :

[OA] yarıçap çizilirse;

4. İç Açı :

Çemberin iç bölgesinde kesişen iki kiriş arası açıdır.
Ölçüsü gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısıdır.

İspat :

A ve C noktalarını birleştirelim. m ve n çevre açıları
CyD ve AxB yaylarını görür.
AEC üçgeninde "iki iç açı eşittir, bir dış açı" kuralından ;

5. Dış Açı :

Ölçüsü gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısıdır.

İspat :

Kural :

Aynı yayları gören iç ve dış açıların toplamı gördükleri büyük yayın ölçüsüne eşittir.
Aynı yayları gören iç ve dış açıların farkı gördükleri küçük yayın ölçüsüne eşittir.

Kirişler Dörtgeni :

Karşılıklı açılarının toplamı eşittir. (180°)
- Kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk kirişler dörtgenidirler.
- e ve f dörtgenin köşegenleri ise;

a.c + b.d = e.f bağıntısı vardır.

ise;

Noktanın Çembere Göre Kuvveti :

1. Çemberdışı bir noktanın kuvveti :

Kuvvet = |PT| = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|
- Kuvvet vektörel bir nicelik olarak alınırsa, çember dışı bir noktanın kuvveti pozitiftir.

İspat :

PTO dik üçgeninden Kuvvet = |PT| = |PO|-r > 0

İspat :

ABDC kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir.

2. Çember üzeri bir noktanın kuvveti O dır.
3. Çember içindeki bir noktanın kuvveti

|PA| . |PB| = |PC| . |PD|
- Kuvvet vektörel bir nicelik olarak alınırsa çember
içi bir noktanın kuvveti negatiftir.

İspat :

Kuvvet = |PO| - r idi
(Kuvvet : Nokta merkez arası uzaklığın karesinden
yarıçapın karesi çıkarılarak bulunur.)
POD dik üçgeninden,
Kuvvet = |PD| = |PO| - r < 0
|PD| = |PC| olduğundan;
Kuvvet = |PD| . |PC| = |PA| . |PB| = |PD| - r < 0