Rasyonel sayılar

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Rasyonel Sayılar ( , rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının [[ortak Her tam sayı oranlı sayıdır. Çünkü $-3=frac{-3}{1}$ veya $0=frac{0}{1}$ veya $43=frac{43}{1}$ şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Oranlı sayılar kümesi $mathbb{Q}$ , tam sayılar kümesi $mathbb{Z}$ 'yi kapsar. Yani $mathbb{Z} subset mathbb{Q}$ .

Tanım Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve Q ile veya $mathbb{Q}$ ile gösterilir. $mathbb{Q}$ kümesi genelde şöyle tanımlanır:

$mathbb{Q} = left{frac{m}{n} : m in mathbb{Z}, n in mathbb{Z}, n ne 0 right}$

Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir oranlı sayı olarak anılır. $mathbb{Z} times mathbb{Z}$ kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı

$(a,b) sim (c,d) Leftrightarrow ad=bc, quad b,d not= 0$

olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları

$overline{(a,b)} = {(a,b) | (a,b) sim (c,d) }$

olurlar. Oranlı sayı ise basitçe

$frac{a}{b} = overline{(a,b)}$

şeklinde tanımlanır.

Tanımda paydanın sıfır olmama şartı $frac{a}{0}$ ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Oranlı sayıların cebirsel özellikleri

$p, q, r in mathbb{Q}$ olmak üzere:

Toplama belitleri

Toplamsal birim öğe:

$q=frac{a}{b}$ bir oranlı sayı ise a=0 olduğunda q toplamanın birim öğesidir ve 0 ile gösterilir.

p + 0 = p

Toplamsal tersinir öğe:

 ve  iki oranlı sayı olsun. Eğer ad=-bc ise bu iki sayı birbirinin toplamsal tersidir.

p + (-p) = 0

Toplamada değişme özelliği:

p+q = q+p

Toplamada birleşme özelliği:

Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma):

(p + q)r = pr + qr

Çarpma belitleri

Çarpımsal birim öğe:

$q=frac{a}{b}$ bir oranlı sayı ise a=b olduğunda q çarpmanın birim öğesidir ve 1 ile gösterilir.

p1 = p

Çarpımsal tersinir öğe:

$frac{a}{b}$ ve $frac{c}{d}$ iki oranlı sayı olsun. Eğer ac=bd ise bu iki sayı birbirinin çarpımsal tersidir.

p(p^-1) = 1

Çarpmada değişme özelliği:

2+61+

Çarpmada birleşme özelliği:

(pq)r = p(qr)

Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma):

r(p + q) = rp + rq

Oranlı sayıların eşitliği

İki oranlı sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının oranlı olmasıyla anlaşılır. $a,b,c,d in mathbb{Z}$ olmak üzere $frac{a}{b}$ ve $frac{c}{d}$ iki oranlı sayı ise bu iki sayı ancak ad=bc olduğunda eşittir.

Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkarsanabilir. İki oranlı sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten ad=bc koşulunu içermekteydi.

Rasyonel ve irrasyonel sayılar:

Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir. Rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denir. Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.

NOT: Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir.

ÖR:

Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta

Yandaki şekilde,bir bütün yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi

olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3de 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu

ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4’e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

NOT: Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir.

                               Q =  Q- Q+ {0} U  Q+

İrrasyonel sayılar:

Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşın,rasyonel olmayan gibi sayılara irrasyonel sayılar denir.İrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.

Gerçek (reel) sayılar kümesi:

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denir.Gerçek sayılar kümesi , gercek sayi ekseninin her noktasını doldurur. Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir. Gerçek sayılar kümesi,”R” sembolü ile gösterilir.

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük)

Paydaları eşit olan rasyonel sayılar:

Paydaları eşit olan rasyonel oranlar icin payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür.

Örneğin:

(7/20) > (3/20) Burada paydalar eşit ve 20dir. Pay değerleri karşılaştırılınca soldaki pay 7 sagdaki pay 3 den daha büyük oldugu için, soldaki rasyonel oran daha büyüktür.

Unutmamalıdır ki negatif paylar karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin de ele alınması ve negatif sayılı pay değerlerde mutlak değeri büyük görünen sayının daha küçük olduğu hatırlanmalıdır:

Örneğin:

( -7|20 ) < ( -3/20 )

Payda 20ye eşit olup sağda ki negatif pay değeri -3, sağdaki negatif pay değeri olan -7den daha büyük olduğu için sağdaki oran daha büyüktür.

Arada olma

İki rasyonel sayı arasına bir ya da birkaç rasyonel sayı yerleştirme işlemine denir.

ÖR:    2/3    ile     4/5

I.YOL: 2 4 II:YOL:2 4 III.YOL: 1 2 4

            3       5                    3       5                          2      3      5
                 2

1 2 4 1 10 12 1 22 22 2 3 5 2 15 15 2 15 30

ÖR: 5 ile 7 1 5 7 1 15 14

         4            6         2        4        6        2        12       12
                                                  
                                                  1      29       29
                                                  2      12       24

5 29 7 4 24 6

=Rasyonel Sayilarda Toplama İşlemi

Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi

Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse, paydalar eşitlenir. Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak payda,paydaya yazılır.toplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir.

Tam sayılı kesirler toplanırken , bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.

ÖR: +3 +7 +3 +35 +3 +38

                    5        1        5        35         3         5

Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi

Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılır.Ortak payda ,paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.

ÖR: 1 2 1 20 24 15

          3     5      4      60      60      60
                               
                             
                                 +20+24+(-15)
                                          60
                                
                                  +44+(-15)
                                        60
                                
                                   29
                                   60

Rasyonel Sayilar Kumesinde Toplama Isleminin Özellikler

Kapalılık özelliği:

İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

ÖR: - 2 + 2 -4 +2 -2

               3           6           6           6           6

Değişme özelliği:

Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır.

ÖR: -4 +1 -8 +7 -1

               7            2          14           14         14

              +1          -4          +7          -8           -1
                2            7           14         14           14

              -4            +1               +1              - 4
               7               2                 2                 7

Birleşme özelliği:

Rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

ÖR: 4 3 1 4 4 8

             5             5             5            5          5                 5

              4             3            1            7           1               8
              5             5            5            5           5               5

                     4         3        1           4        3        1
                     5         5        5           5        5        5

Etkisiz (birim) eleman özelliği:

”0” tam sayısına, rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.

ÖR: -7 -7 -7 -7

               9                9                                 9                 9

                                       buna göre;

                                -7                               -7
                                  9                                9

Ters eleman özelliği:

Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.

ÖR: +5 -5 20 20

              -5             +5
               20            20

BU SİTEDEKİ TÜM BİLGİLER YANLIŞ...:(:(:(

Rasyonel Sayilarda Çikarma İslemi

İki rasyonel sayının farkı bulunurken, eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersidir.

ÖR: +3 +1 +3 -1 +18 -5 +13

                5           6            5           6            30         30             30

ÖR: +7 +5 +7 +25

               10             2             10             10
                                              
                                              +7           -25            -18
                                               10            10             10

Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkı,yine bir rasyonel sayıdır.Buna göre rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Rasyonel Sayilarda Çarpma İslemi

İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.

NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.
    Yani:       
                      +  x  + = +
                      -  x  - = +
                      -  x  + = -
                      +  x  - = -
 

ÖR:        -4        +3          (-4)x(+3)             -12
                1          4             1 x 4                    4

NOT:Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.

Rasyonel Sayilar Kumesinde Çarpma İsleminin Özellikleri

Kapalılık özelliği:

İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

ÖR: +3 -2 -6

               4              3              12

Değişme özelliği:

Rasyonel sayılar kümesinde carpma işleminin değişme özelliği vardır.

ÖR: -19 -1 +19

               20           3              60

               -1         -19           -19
                3           20            60

Birleşme özelliği:

Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

ÖR: +3 -2 +1 -6 +1 -6

                1          3              5           3             5             15
    
     +3         -2            +1         +3            -2            -6
                1          3               5           1             15           15

Yutan eleman:

Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır. ”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir.

ÖR: -7 -7 9 5523

Etkisiz birim eleman:

+1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.

örnek:0 0 0 0

Ters eleman:

Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.

ÖR: +2 +3 2 x 3 +1

                3                  2               3 x 2              1

Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği:

Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

ÖR: +1 +2 +1 +1 +3 +3

                2         4          4              2            4           8

              +1            +2         +1        +1        +2         +1        +1
                2               4          4           2          4           2           4

                                                       +2                 1                   +3
                                                         8                 8                     8

Çarpma işleminin çıkarma işlem üzerine dağılma özelliği:

Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

ÖR: 1 2 1 1 1 1

               2     4      4         2      4       8
              
              1         2         1         1         2         1        1
              2         4         4         2         4         2        4

2 1 8 8

                                               1
                                               8

Rasyonel Sayılarda Bölme İşlemi

İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünen rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.

NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif; ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.

  Yani:           +  . + = + 
                  -  . - = +
                  -  . + = -
                  +  . - = -

ÖR: -3 +2 -3 +4 -3

               4              4             4                  2             2

+1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.

ÖR: -2 1 -7 -7

                            7             1                2               2

(-1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.

 ÖR:                 12                   +17         17
                         17                     12         12

Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir.

Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.

ÖR: -2 -2 1 -2 1 -2

               7                 7                1               7            1             7

ÖR: -2 -2 -1 -2 -1 2

               7                  7                1              7         1                7

NOT: Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır.

Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = pay . payda” ilişkisi vardır.

NOT:Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır.

NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur.

NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.